十二、数据结构

1、栈（stack）

​ 栈（stack）是限制插入和删除只能在一个位置上进行的表，该位置是表的末端，叫做栈顶 （top）。它是后进先出（LIFO）的。对栈的基本操作只有 push（进栈）和 pop（出栈）两种， 前者相当于插入，后者相当于删除最后的元素。

2、队列（queue）

​ 队列是一种特殊的线性表，特殊之处在于它只允许在表的前端（front）进行删除操作，而在表的 后端（rear）进行插入操作，和栈一样，队列是一种操作受限制的线性表。进行插入操作的端称为 队尾，进行删除操作的端称为队头。

3、链表（Link）

​ 链表是一种数据结构，和数组同级。比如，Java 中我们使用的 ArrayList，其实现原理是数组。而 LinkedList 的实现原理就是链表了。链表在进行循环遍历时效率不高，但是插入和删除时优势明显。

4、散列表（Hash Table）

​ 散列表（Hash table，也叫哈希表）是一种查找算法，与链表、树等算法不同的是，散列表算法 在查找时不需要进行一系列和关键字（关键字是数据元素中某个数据项的值，用以标识一个数据 元素）的比较操作。

​ 散列表算法希望能尽量做到不经过任何比较，通过一次存取就能得到所查找的数据元素，因而必 须要在数据元素的存储位置和它的关键字（可用 key 表示）之间建立一个确定的对应关系，使每个 关键字和散列表中一个唯一的存储位置相对应。因此在查找时，只要根据这个对应关系找到给定 关键字在散列表中的位置即可。这种对应关系被称为散列函数(可用 h(key)表示)。 用的构造散列函数的方法有：

1. 直接定址法： 取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。 即：h(key) = key 或 h(key) = a * key + b，其中 a 和 b 为常数。
2. 数字分析法
3. 平方取值法： 取关键字平方后的中间几位为散列地址。
4. 折叠法：将关键字分割成位数相同的几部分，然后取这几部分的叠加和作为散列地址。
5. 除留余数法：取关键字被某个不大于散列表表长 m 的数 p 除后所得的余数为散列地址， 即：h(key) = key MOD p p ≤ m
6. 随机数法：选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的散列地址， 即：h(key) = random(key)

5、排序二叉树

​ 首先如果普通二叉树每个节点满足：左子树所有节点值小于它的根节点值，且右子树所有节点值 大于它的根节点值，则这样的二叉树就是排序二叉树。

1、插入操作

​ 首先要从根节点开始往下找到自己要插入的位置（即新节点的父节点）；具体流程是：新节点与 当前节点比较，如果相同则表示已经存在且不能再重复插入；如果小于当前节点，则到左子树中寻找，如果左子树为空则当前节点为要找的父节点，新节点插入到当前节点的左子树即可；如果 大于当前节点，则到右子树中寻找，如果右子树为空则当前节点为要找的父节点，新节点插入到 当前节点的右子树即可。

2、删除操作

​ 删除操作主要分为三种情况，即要删除的节点无子节点，要删除的节点只有一个子节点，要删除 的节点有两个子节点。

1. 删除操作主要分为三种情况，即要删除的节点无子节点，要删除的节点只有一个子节点，要删除 的节点有两个子节点。

2. 对于要删除的节点只有一个子节点，则替换要删除的节点为其子节点。

3. 对于要删除的节点有两个子节点，则首先找该节点的替换节点（即右子树中最小的节点）， 接着替换要删除的节点为替换节点，然后删除替换节点。

   

3、查询操作

​ 查找操作的主要流程为：先和根节点比较，如果相同就返回，如果小于根节点则到左子树中 递归查找，如果大于根节点则到右子树中递归查找。因此在排序二叉树中可以很容易获取最 大（最右最深子节点）和最小（最左最深子节点）值。

6、红黑树

​ R-B Tree，全称是 Red-Black Tree，又称为“红黑树”，它一种特殊的二叉查找树。红黑树的每 个节点上都有存储位表示节点的颜色，可以是红(Red)或黑(Black)。

1、红黑树的特性

1. 每个节点或者是黑色，或者是红色。
2. 根节点是黑色。
3. 每个叶子节点（NIL）是黑色。 [注意：这里叶子节点，是指为空(NIL 或NULL)的叶子节点！]
4. 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。
5. 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。

2、左旋

​ 对 x 进行左旋，意味着，将“x 的右孩子”设为“x 的父亲节点”；即，将 x 变成了一个左节点(x 成了为 z 的左孩子)！。 因此，左旋中的“左”，意味着“被旋转的节点将变成一个左节点”。

3、右旋

​ 对 x 进行右旋，意味着，将“x 的左孩子”设为“x 的父亲节点”；即，将 x 变成了一个右节点(x 成了为 y 的右孩子)！ 因此，右旋中的“右”，意味着“被旋转的节点将变成一个右节点”。

4、添加

第一步: 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入。

第二步：将插入的节点着色为"红色"。

根据被插入节点的父节点的情况，可以将"当节点 z 被着色为红色节点，并插入二叉树"划分为三 种情况来处理。

① 情况说明：被插入的节点是根节点。 处理方法：直接把此节点涂为黑色。

② 情况说明：被插入的节点的父节点是黑色。 处理方法：什么也不需要做。节点被插入后，仍然是红黑树。

③ 情况说明：被插入的节点的父节点是红色。这种情况下，被插入节点是一定存在非空祖父节点 的；进一步的讲，被插入节点也一定存在叔叔节点(即使叔叔节点为空，我们也视之为存在，空节 点本身就是黑色节点)。理解这点之后，我们依据"叔叔节点的情况"，将这种情况进一步划分为 3 种情况(Case)。

第三步: 通过一系列的旋转或着色等操作，使之重新成为一颗红黑树。

5、删除

第一步：将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点删除。

这和"删除常规二叉查找树中删除节点的方法是一样的"。分 3 种情况：

① 被删除节点没有儿子，即为叶节点。那么，直接将该节点删除就 OK 了。

② 被删除节点只有一个儿子。那么，直接删除该节点，并用该节点的唯一子节点顶替它的位置。

③ 被删除节点有两个儿子。那么，先找出它的后继节点；然后把“它的后继节点的内容”复制给 “该节点的内容”；之后，删除“它的后继节点”。

第二步：通过"旋转和重新着色"等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。 因为"第一步"中删除节点之后，可能会违背红黑树的特性。所以需要通过"旋转和重新着色"来修正 该树，使之重新成为一棵红黑树。 选择重着色 3 种情况。

① 情况说明：x 是“红+黑”节点。 处理方法：直接把 x 设为黑色，结束。此时红黑树性质全部恢复。

② 情况说明：x 是“黑+黑”节点，且 x 是根。 处理方法：什么都不做，结束。此时红黑树性质全部恢复。

③ 情况说明：x 是“黑+黑”节点，且 x 不是根。 处理方法：这种情况又可以划分为 4 种子情况。这 4 种子情况如下表所示：

7、B-TREE

B-tree 又叫平衡多路查找树。一棵 m 阶的 B-tree (m 叉树)的特性如下（其中 ceil(x)是一个取上限 的函数）：

1. 树中每个结点至多有 m 个孩子；
2. 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有有 ceil(m / 2)个孩子；
3. 若根结点不是叶子结点，则至少有 2 个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子 结点，整棵树只有一个根节点）；
4. 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部结点或查询 失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为 null)；
5. 每个非终端结点中包含有 n 个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其 中：
   1. Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序排序 K(i-1)< Ki。
   2. Pi 为指向子树根的接点，且指针 P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于 Ki，但都大于 K(i-1)
   3. 关键字的个数 n 必须满足： ceil(m / 2)-1 <= n <= m-1

一棵 m 阶的 B+tree 和 m 阶的 B-tree 的差异在于：

1. 有 n 棵子树的结点中含有 n 个关键字； (B-tree 是 n 棵子树有 n-1 个关键字)

2. 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本 身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (B-tree 的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

3. 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (B-tree 的非终节点也包含需要查找的有效信息)

   

8、位图

​ 位图的原理就是用一个 bit 来标识一个数字是否存在，采用一个 bit 来存储一个数据，所以这样可 以大大的节省空间。 bitmap 是很常用的数据结构，比如用于 Bloom Filter 中；用于无重复整数的 排序等等。bitmap 通常基于数组来实现，数组中每个元素可以看成是一系列二进制数，所有元素 组成更大的二进制集合。